Les objets obtenus à l’aide des mathématiques fractales, mises au point en 1971 par Benoît Mandelbrot, un mathématicien d'origine française, révèle une forme fragmentée qui, lorsqu’elle est subdivisée en parties, reproduit toujours la même forme, indépendamment de l'échelle. Cette nouvelle géométrie sert à décrire et calculer des objets qui vont du flocon de neige aux poussières de galaxies et à décrire des formes géométriques compliquées telles que nuages, montagnes, côtes maritimes et phénomènes de turbulence.

La mécanique céleste est le lieu où le chaos fut pour la première fois mis en évidence. Henri Poincaré se posait déjà la question, en 1899, sur la non prévisibilité de systèmes déterministes tel que le mouvement des planètes. L'étude du chaos a permis de découvrir la structure complexe de phénomènes apparemment simples, et inversement, la structure simple de phénomènes apparemment complexes.
L’étude qui nous intéresse ici applique une équation de Schrödinger aux données du problème. Cette équation est semblable à celle régissant les amplitudes de probabilité de localisation de l’électron dans l’atome d’hydrogène. Dans ce cas, elle donne comme résultat non pas la position exacte de l’électron, mais la structure, spatiale en l’occurrence, dans laquelle l’électron évolue.

On constate alors que la théorie rejoint les observations en ce qui concerne la position des planètes dans notre système solaire, à deux planètes près : celles que la théorie place à 0,18 UA et 0,05 UA du soleil (UA : unité astronomique correspondant à la distance Terre-Soleil, c’est à dire 150 millions de kilomètres). Mais les techniques d’observation dont nous disposons ne nous permettent pas de confirmer ou d’infirmer la théorie à de telles distances pour le moment.

De nombreuses fractales font intervenir dans leur calcul des rapports de logarithmes. Par exemple on pourra donner échos à l’étude de Jean-Claude Perez sur la structure de l’ADN. Cette dernière obéit précisément aux suites des nombres de Fibonacci et de Lucas. J-C Perez mis en évidence un " supra code de l’ADN " qui contrôle les séquences de nucléotides tout au long des brins d’ADN. Pour une vingtaine de génomes natifs étudiés (allant du ver de terre au crocodile et aux singes ou humains), on découvre effectivement un grand nombre de résonances qui sont la marque de ce code. De façon plus générale, l’architecture structurelle de l’ADN suit un ordre fractal. Le prix Nobel Jacques Monod déclare en 1970 : " Si l’ADN n’était point le fruit du hasard, on devrait être capable, connaissant la séquence précise de 9 999 nucléotides, de prévoir la valeur TCAG du 10 000ème nucléotide ". On va pouvoir répondre à ce défis.

Et que dire des figures géométriques qui s’inscrivent depuis des décennies dans les champs de céréales du monde entier ? Les plantes sont courbées, le dessin formé est précis dans son tracé, aucun dégât n’apparaît dans, ou à proximité de la figure, lorsque cette dernière est bien d’origine inexpliquée, et non le résultat d’un canular. Au Canada, aux Etats-Unis, en Russie, en Europe continentale et notamment en Angleterre, ce sont plus de 2 500 apparitions qui ont été signalées au total. Les épis sont généralement courbés à 1,5 cm du sol et, dans certains cas, on a retrouvé au cœur de ces représentations des traces de cristaux et des résidus de carbone. Les figures géométriques ainsi formées ont tout d’abord été de simple cercle, d’où leur nom : Crop-circle. Mais elles se sont complexifiées au fil du temps jusqu’à ce que certaines d’entre elles s’apparentent à des tracés obtenus à l’aide du calcul fractal.

La figure fractale ci-dessous se nomme la garniture de Sierpinski, en référence à son auteur, le mathématicien Waclaw Sierpinski :